Il misterioso rapporto tra i mattoni dell’aritmetica e quelli del mondo

 

di Giorgio Masiero*
*fisico

 

Il periodo tra gli anni ’30 e ’70 del secolo scorso si può considerare l’epoca d’oro della fisica del neutrone, per l’impiego via via crescente di questa particella, scoperta da James Chadwick nel 1932. Il neutrone fu determinante nella teoria a capire la struttura del nucleo atomico e nelle applicazioni a raccogliere i dati necessari alla progettazione di reattori ed ordigni nucleari. Con impatti rilevanti (e terribili) sulla tecnica, l’economia e la politica globali.

Dopo la scoperta della fissione (anni ‘30-‘40), il risultato maggiore fu forse ottenuto a metà degli anni ’50: si trovò che, colpendo con un fascio di neutroni di bassa energia i nuclei pesanti (quelli aventi almeno un centinaio tra protoni e neutroni), questi si dispongono a livelli energetici discreti, più o meno stabili. Dunque, come la nube elettronica intorno al nucleo ha configurazioni quantizzate, così anche il sistema dinamico del nucleo consiste di righe nitidamente osservabili. A dipanare la matassa della fenomenologia accumulata nei laboratori fu un fisico eclettico, Eugene Wigner, che ad una conferenza sul neutrone (Gatlimburg, 1956) presentò un modello matematico capace di predire gli spettri nucleari. Wigner, sulla base dell’osservazione dei livelli dell’uranio 239 (dove la distribuzione in apparenza casuale è contemperata da un effetto d’ordine che ne vieta l’assembramento sotto una certa soglia), propose uno schema teorico soddisfacente, per la semplicità delle assunzioni e l’efficacia delle predizioni. 15 anni dopo, il modello fu perfezionato da Freeman Dyson: questi, giovandosi di una mole di dati molto maggiore di quella di Wigner (per il solo erbio 166 erano state misurate 109 risonanze del nucleo) e studiando gli oggetti matematici chiamati “autovalori di un operatore GUE”, stabilì che la funzione di correlazione (che conta quante righe sono separate da un dato dislivello energetico) è:

y = 1 – (sinπxx)2.

Sulla strana proprietà della matematica di descrivere i fenomeni naturali, e di farlo in sembianze belle e succinte, mi sono soffermato in diversi articoli. Oggi mi basti aggiungere che Wigner pubblicò in quegli anni anche un saggio, destinato a diventare un classico di filosofia della matematica e della fisica, intitolato “L’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali”: in esso, trattando della sinergia tra matematica e fisica, Wigner opina si tratti di una relazione inspiegabile. Ma su questo mistero incombe forse un mistero ancora più grande…

Cambiamo ambiente: saltiamo dal mondo materiale degli atomi a quello etereo dei numeri. Senza dubbio la più importante questione aperta della matematica è l’Ipotesi di Riemann. Essa resiste da 150 anni ad ogni tentativo di dimostrazione ed è connessa alla possibilità che nell’infinita successione dei numeri primi

2   3   5   7  11  13  17  19  23  29  31  37 41  43  47  53  59  61  67  71  73  79  83  89  97 101 …,

che sembra dispiegarsi caoticamente, ci sia della musica sopra il rumore di fondo: sia contenuta cioè una qualche regolarità ancora da scoprire. Il Clay Institute ha inserito la questione nella lista dei “7 problemi del Millennio” promettendo un milione di dollari al suo risolutore. Oltreché avere un’importanza fondamentale in aritmetica (dove i numeri primi fanno la parte degli atomi, perché ogni intero si può scrivere in modo univoco come prodotto di numeri primi), il problema ha anche impatto sui servizi internet, la cui sicurezza si basa in buona misura sull’inesistenza di software capace di scomporre in tempi ragionevoli un numero prodotto di due numeri primi di alcune centinaia di cifre (v. un mio articolo del luglio scorso): se l’Ipotesi di Riemann si dimostrasse vera, la legge matematica con cui i numeri primi si succedono potrebbe disvelarsi e la dea Isis apparire nel suo splendore al baciato dalla serendipity…, minacciando la crittografia usata nelle transazioni finanziarie, nelle infrastrutture strategiche, nelle informazioni industriali e militari sensibili, ecc.

La comprensione dell’Ipotesi di Riemann richiede conoscenze di matematica superiore e non entrerò nei dettagli: dirò soltanto, ai fini di poter trasmettere a tutti i lettori la fragranza del miracolo narrato in questo articolo, che se essa è vera – come i teoremi parziali e le simulazioni al computer fanno ritenere –, allora la distribuzione dei numeri primi è correlata a quella d’un infinito insieme di punti (gli “zeri non banali della funzione Zeta di Riemann”), che verrebbero a trovarsi tutti allineati lungo una certa retta. Già l’autore della congettura, Bernhard Riemann, aveva trovato nel 1859 la posizione dei primi 3 “zeri”, trovandoli allineati sulla retta prevista; nel 1903 Jørgen Gram calcolò i primi 15, pure ivi allineati; nel 1935 Edward Titchmarsh giunse alla determinazione dei primi 1.041, ancora tutti allineati. Con l’entrata in campo dei calcolatori questo genere di ricerche ha subito un’accelerazione: ai nostri giorni il network internazionale di computer cooperativi ZetaGrid ha verificato l’Ipotesi di Riemann per i primi 385 miliardi di punti. Tra il 1987 ed il 2001 Andrew Odlyzko si è dedicato a studiare le proprietà statistiche della distribuzione degli zeri di Riemann, esaminandone una decina di miliardi nell’intervallo compreso tra i posti 1020 e 1022. Poté così calcolare con precisione in un largo intervallo che la funzione di correlazione (che ora conta quanti zeri sono separati da una data distanza) è rappresentabile da una funzione identica a quella dei nuclei pesanti:

y = 1 – (sinπxx)2.

I calcoli di Odlyzko rivelano quindi un’incredibile coincidenza, oggi nota come legge di Montgomery-Odlyzko: “La distribuzione dei livelli energetici dei nuclei atomici pesanti è empiricamente uguale a quella degli zeri non banali della funzione Zeta di Riemann”!

Conclusione. Già è un compito improbo, risolvibile solo approssimativamente, prevedere come si muovono 3 o più corpi sotto l’effetto della gravitazione: lo sa ogni studente di meccanica classica. Il fatto che se ne possa calcolare solo una soluzione approssimativa non è di poco conto, perché coincide – come ha dimostrato definitivamente il matematico Qiudong Wang una ventina di anni fa – con l’impossibilità di sapere se un sistema con più di 2 corpi è stabile sotto l’azione del campo gravitazionale, confermando così l’esistenza nei fenomeni fisici di quel caos deterministico, già intuito da Henri Poincaré un secolo prima. Nel caso del sistema solare, con circa 150 corpi tra Sole, pianeti e satelliti (senza contare asteroidi e comete), nessuno pertanto saprà mai la soluzione esatta: sappiamo che una soluzione dinamica abbastanza  stabile c’è, perché altrimenti la vita non sarebbe comparsa né sopravvivrebbe nella Terra, ma nessuno al mondo può dire, per es., per quanti anni Plutone resterà agganciato al Sole.

Desta quindi stupore una formula matematica in grado di descrivere statisticamente le “orbite” nucleari dei 94 protoni e 145 neutroni del plutonio 239 (complicate di spin e parità), ad energie di milioni di elettronvolt; e dei nuclei degli altri atomi pesanti… Wigner non poteva non meravigliarsi dell’efficacia del suo modello! Tutto ciò appartiene però all’“irragionevole efficacia della matematica”, un fatto che i fisici danno per scontato: come potrebbero altrimenti guadagnarsi da vivere? Ciò che Wigner non avrebbe mai immaginato quando propose la sua formula a Gatlimburg è che essa potesse descrivere anche un’altra specie di atomi, fuori dello spazio-tempo e privi di massa ed energia, un tipo di “particelle” non appartenenti al mondo fisico: i numeri primi! È questa una coincidenza cosmica? O l’esistenza dell’operatore GUE, che sembra governare insieme l’Universo fisico e l’Iperuranio logico-matematico, rivela un rapporto platonico tra i 2 mondi?

L’unica risposta dotata di senso sta per me nella Bibbia: “Hai disposto ogni cosa, [Signore], in misura, numero e peso” (“Sapienza” 11, 21), come dire con la geometria, l’aritmetica e l’algebra. La sentenza della “Sapienza” spiega anche perché la matematizzazione del mondo propugnata da Galileo si è rivelata il giusto programma della scienza moderna. E a questo punto, anche il mistero dell’”irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali” è svelato.

Condividi su:
  • Aggiungi su Facebook
  • Aggiungi su OKNOtizie
  • Aggiungi su Twitter
  • Aggiungi su Windows Live
  • Aggiungi su MySpace

53 commenti a Il misterioso rapporto tra i mattoni dell’aritmetica e quelli del mondo